《线性代数》课程大纲

一、课程简介

线性代数课程在综合类院校的教学计划中是一门重要的基础理论课，由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为科技人员常遇到的课题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具备本课程有关的基本知识，并熟练地掌握它的方法。

二、教学对象

四年制工程管理专业学生。

三、教学目的

通过本课程的学习，使学生获得行列式、矩阵的代数运算及初等变换、矩阵的秩、线性方程组、向量的线性相关性等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力；使学生树立辩证唯物主义的世界观、实事求是的科学态度，具有分析问题和解决问题的能力，能根据实际问题的条件和性质运用所学过的数学基本概念和基本思想方法进行深入细致的分析、建立合理的数学模型、寻找解决问题的思路以及方案；具有较强的辨析能力，会运用已掌握的数学工具，计算并估算数学问题，并能把结果与实际情况进行比较，做出合理的判断具有一定的自我发展的能力，能独立地阅读教材、参考书以及有关的文献资料，写出比较详细的阅读笔记，具有初步发现和简单扩展现有理论并应用于相关专业课程学习的能力。

四、教学要求

本课程基本内容包括：行列式、矩阵的代数运算及初等变换、矩阵的秩、线性方程组理论、向量的线性相关性、矩阵的特征值和特征向量，其特点在于：注重重要概念的实际背景，强调数学思想和数学方法，理论上贯穿“线性相关性” 这一代数灵魂，突出矩阵方法，强调矩阵初等变换的作用。内容深广度适当，结构严谨，例题丰富，注重数学知识的应用，适于自学，伸缩性强，便于教师根据实际处理教学内容。总学时：36

五、教学要求的基础内容及学时要求

学时分配

各章教学要求和教学内容

第一章 行列式

教学要求

1.理解行列式的定义；

2.掌握行列式的性质；

3.掌握行列式的计算；

4.掌握用行列式的定义、性质和有关定理去计算较简单的n阶行列式的方法；

教学内容

行列式的定义：n阶行列式的定义，n阶行列式的简单计算。行列式的性质：行列式的五个性质和三个推论。行列式按行按列展开定理：行列式的余子式和代数余子式。

第二章 矩阵及其运算

教学要求

1.了解矩阵的定义，掌握常见的特殊矩阵及其性质；

2.掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律；

3.了解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质及其求逆方法；

4.了解克拉默法则和矩阵分块法。

教学内容

矩阵的概念：矩阵的定义，矩阵的表示法，几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵和反对陈矩阵）。矩阵的运算：矩阵的加法，数与矩阵的乘法，矩阵的乘法，矩阵的转置，方阵的行列式。逆矩阵：逆矩阵的定义及其性质，用伴随矩阵计算逆矩阵。克拉默法则和矩阵分块法

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

教学要求

1.掌握矩阵的初等变换；

2.掌握矩阵的秩

3.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件；

4.熟练掌握用初等变换的方法求线性方程组的一般解。

教学内容

矩阵的初等行变换，阶梯形矩阵，最简形矩阵，初等矩阵，用初等变换法求矩阵的逆矩阵。矩阵的秩。线性方程组的消元解法，线性方程组有解的判定定理。

第四章 向量组的线性相关性

教学要求

1.理解向量的概念；熟练的掌握向量的加法和数乘运算；

2.理解向量与向量组的线性组合；

3.理解向量组的线性相关性；

4.理解齐次线性方程组的基础解系的概念；

5.理解非齐次线性方程组解的解。

教学内容

向量及其线性运算：n维向量的概念,,向量的加法和数乘运算。向量组的线性表示：向量组线性表示（线性组合）的概念。向量组的线性相关：线性相关，线性无关的的定义。向量组的秩：向量组的极大无关组的概念，向量组的等价，向量组的秩，向量组的秩与矩阵秩的关系，矩阵的行秩与列秩，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩，初等变换求向量组的极大无关组。线性方程组解的结构：齐次线性方程组解的结构：齐次线性方程组解的性质，基础解系以及解的结构；非齐次线性方程组解的结构：解的性质及解的结构。

第五章 相似矩阵及二次型

教学要求

了解向量的内积、长度及正交性，方阵的特征值与特征向量的概念，熟练掌握求矩阵特征值与

特征向量的方法，了解相似矩阵。

教学内容

向量的内积、长度及正交性。 矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量的定义，特征多项式，特征方程，特征值和特征多项式的计算。相似矩阵。

六、课程的其它教学环节

习题课：根据学生作业情况有针对性的讲解习题，每两周至少一次。

讨论课：从每章知识点中选择适当的内容，供学生讨论并讲解。

七、考核方式和考核要求

1.考核方式：考试

2.考核要求：

第一章 行列式（约占18%）

考核内容：

二阶，三阶行列式的计算，行列式的定义，行列式的性质，行列式的计算。

考核要求：

1.理解行列式的定义；

2.掌握行列式的性质；

3.掌握行列式的计算；

4.掌握用行列式的定义、性质和有关定理去计算较简单的n阶行列式的方法。

第二章 矩阵及其运算（约占20%）

考核内容：

矩阵的运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，矩阵的初等变换。

考核要求：

1.了解矩阵的定义，掌握常见的特殊矩阵及其性质；

2.掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律；

3.了解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵的性质及其求逆方法；

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（约占25%）

考核内容：

1.熟练掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系；知道矩阵的等价标

准形；

2.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的计算。

3.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组。

第四章 向量组的线性相关性（约占25%）

考核内容：

向量的运算，向量组的线性组合、线性相关性，向量组的秩，线性方程组解的结构。

考核要求：

1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件；

2.理解向量的概念；熟练的掌握向量的加法和数乘运算；

3.理解向量与向量组的线性组合；

4.理解向量组的线性相关性；

5.理解齐次线性方程组的基础解系的概念；

6.理解非齐次线性方程组解的解；

第五章 相似矩阵及二次型（约占12%）

考核要求：

向量的内积、长度及正交性。矩阵的特征值与特征向量的求法。

考核要求：

掌握向量的内积、长度及正交性。掌握二阶、三阶矩阵的特征值与特征向量的求法及特征值的性质。

八、推荐教材、学习参考资源

1.推荐教材

同济大学数学系编《线性代数》，高等教育出版社，2013年第6版。

2.学习参考资源

①赵树嫄主编《线性代数》，中国人民大学出版社，2013年第4版。

②吴赣昌《线性代数》，中国人民大学出版社，2017年第5版。

执笔：李艳艳 2019年6月

审定：高美平 2019年7月